Nota prévia: o texto seguinte deve ser acompanhado por uma apresentação em «powerpoint» que poderá descarregar
aqui
Introdução
A geometria euclidiana, também chamada geometria elementar ou plana teve a sua origem na
Grécia antiga com o grande matemático Euclides. Pensa-se que Euclides nasceu
aproximadamente 330 anos a.c na Síria e viveu por Proclo e Pappus de Alexandria, mas pouco
se sabe sobre a sua vida.
Após ser convidado pelo rei Ptolomeu I, governante do Egito, a lecionar Matemática na
academia de Alexandria, ganhou destaque pela forma que ensinava Geometria e Álgebra e, ao
contrário de outros matemáticos, Euclides estudou mais aprofundadamente os conteúdos das
disciplinas criando uma das maiores obras-primas da Matemática de todos os tempos
chamada de “Os Elementos”.
O texto de “Os Elementos” foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro
texto a falar sobre teoria dos números. “Os Elementos” de Euclides é um tratado matemático e
geométrico de 13 livros. Os treze livros englobam a geometria euclidiana e a versão grega
antiga da teoria dos números elementar. Foi também um dos livros mais influentes na
história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático.
E que método era esse? O método consistia em assumir um pequeno conjunto de axiomas, e
então provar várias outras proposições a partir dos mesmos.
O estudo de Euclides analisava as diferentes formas de objetos, e baseava-se em três conceitos
básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma
definição aceite de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um
ponto por uma letra maiúscula do alfabeto. Podemos definir uma reta como sendo um
número infinito de pontos em sequência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um
número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta.
A Base Da Geometria Euclidiana: Os Axiomas e Postulados.
A geometria euclidiana tem sua base em axiomas e postulados.
Mas então o que podemos entender sobre axiomas e postulados? Bem, segundo o
matemático os axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências, enquanto
que os postulados eram verdades sobre um determinado tema. Estes surgem como
desenvolvimento dos axiomas e se provados verdadeiros, são considerados teorema.
Os Axiomas:
Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si.
Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais.
Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
Axioma 4: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais.
Axioma 5: O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.
Os Postulados:
Postulado 1: Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une;
Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma
reta;
Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma
circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);
Postulado 5: Se duas linhas intersetam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos
internos num lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersetar
neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das
Paralelas).
Geometria Não Euclidiana:
A geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto da
geometria euclidiana.
Por volta de 1820 um grande matemático da época chamado Gauss começou a se interessar
pela existência de uma geometria que não fosse a de Euclides, pois essa geometria é aplicada
apenas em superfícies planas, e essa teoria não poderia ser aplicada a superfícies curvas. Por
exemplo, ‘a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º numa superfície plana, mas
não podemos afirmar isso se a superfície em que se encontra esse triângulo for curva.
A geometria euclidiana era uma verdade única e incontestável, mas Gauss sabia que essa ideia
era totalmente falsa, mas para não entrar em conflitos com filósofos e matemáticos da época,
ficou em silêncio.
É no axioma ou postulado 5 que surge a dúvida e nasce a geometria não euclidiana. Mesmo a
Euclides pareceu que aquele era um axioma de natureza diferente e mais complexo do que os
outros. Deste mode que tentou provar o maior número de teoremas sem recorrer àquele 5º
axioma.
O 5º axioma ficou conhecido como “Axioma das Paralelas” porque se prova que é equivalente
ao seguinte: “Por um ponto exterior a uma reta passa sempre uma paralela à reta dada”.
Claro que o problema do infinito está aqui em evidência, como um simples modelo pode
demonstrar.
Contudo, a geometria não euclidiana não uma geometria exata, de modo que atualmente
ainda é estudada.
Rebeca Cardoso 11ºG
