Rebatimentos

Apresentação da aluna Francisca Santos do 11ºF sobre o tema dos rebatimentos.
Pode descarregar o trabalho aqui

Apresentações

Fica aqui o registo de algumas apresentações ocorridas no final do 2º período por parte de alunos das turmas A e F do 11ºano.
Os alunos apresentaram na sala de aula material que haviam produzido ou recolhido fora dela.
Consistiram na mostra de exercícios que aprofundavam conhecimentos adquiridos ou que abordavam temáticas não desenvolvidas na aula, ou ainda na introdução do tema de trabalhos que estavam a desenvolver.

Márcia Câmara, 11ºF

Márcia Câmara, 11ºF

Maria Amaral e Benedita Faria, 11ºA

André Gomes, 11ºA

Sólidos Platónicos e os seus Duais

O nosso trabalho teve como principal objetivo apresentar o tetraedro dual e mostrar como utilizar a verdadeira grandeza das faces do tetraedro exterior para encontrar os pontos do interior.



Começamos por fazer uma breve introdução sobre os cinco sólidos platónicos e sobre a sua importância.



De seguida, falamos sobre o conceito de dualidade e associamo-lo aos sólidos platónicos, fazendo assim a transição para o nosso tetraedro dual.



Terminamos o trabalho com uma apresentação detalhada do exercício que resolvemos para encontrar o dual de um tetraedro arranjando a sua verdadeira grandeza, que alcançamos através do método de rebatimento e do método de dupla rotação.

O trabalho foi apresentado com base num powerpoint e complementado com modelos dos sólidos mencionados.

Benedita Faria e Maria Amaral, 11ºA

«Quadros»

Na sala de aula de geometria descritiva, o quadro de giz corresponde, muitas vezes, a uma espécie de «mesa de café», mas apenas no sentido em que é para ele que os olhares convergem e é em torno dele que a maioria das conversas se forma. O ritmo próprio da execução dos exercícios, nessa escala aumentada, permite a construção lenta e fundamentada dos raciocínios e cria, ao mesmo tempo, espaço para divagações e improvisos. Considero que o quadro torna-se, assim, também num  instrumento essencial  para a componente formativa da avaliação, uma vez que todos participam - ou podem participar - nos exercícios que estão a ser construídos e é o momento e local certo para explorar sugestões metodológicas, detetar e corrigir erros ou esclarecer dúvidas resistentes. Mas como que a lembrar-nos da constante efemeridade das nossas ações, no fim o quadro apaga-se e tudo recomeça. Numa tentativa de contrariar essa inevitabilidade, foram-se registando ao longo do ano alguns dos nossos quadros, assim como os seus autores – alunos das turmas A do 10º ano e F,G e H do 11º - muitos deles revelando na fotografia a expressão indisfarçável e genuína do orgulho pela obra feita.
 O giz esfumou-se há muito, mas a imagem resiste ao tempo. Boas férias!

 José Cabral

Polítopos Quadridimensionais

No meu trabalho decidi subir ao outro nível da geometria que transcende a realidade
tridimensional que é nos conhecida. O meu objetivo é mostrar que existem outras dimensões superiores e a sua geometria pode ser estudada.

O espaço quadridimensional tem a figuras que podem ser projetadas em 3D como projeções tridimensionais. Essas projeções ajudam-nos a perceber a construção da figura que existe em 4D mas nunca podemos ver a própria figura de tal maneira como um ser bidimensional não consegue ver a figura tridimensional na sua totalidade.

Dwayne Holt, 11ºH

Sólidos platónicos duais

No meu trabalho para além de exemplos de sólidos platónicos, explico como esses se relacionam

entre si. Cada um dos sólidos platónicos tem o seu respetivo dual que podemos obter através do

método específico.



No processo do meu trabalho construí as maquetes dos sólidos platónicos e os duais para poder

explicar as características de cada um e em que consiste a dualidade entre esses sólidos.

Outra parte do trabalho foi a minha apresentação em powerpoint onde apresento todos os sólidos

platónicos, os seus variantes não regulares e os sólidos duais como figuras compostas.



Dwayne Holt, 11ºH

Geometria Euclidiana

Nota prévia: o texto seguinte deve ser acompanhado por uma apresentação em «powerpoint» que poderá descarregar aqui

Introdução

A geometria euclidiana, também chamada geometria elementar ou plana teve a sua origem na

Grécia antiga com o grande matemático Euclides. Pensa-se que Euclides nasceu

aproximadamente 330 anos a.c na Síria e viveu por Proclo e Pappus de Alexandria, mas pouco

se sabe sobre a sua vida.

Após ser convidado pelo rei Ptolomeu I, governante do Egito, a lecionar Matemática na

academia de Alexandria, ganhou destaque pela forma que ensinava Geometria e Álgebra e, ao

contrário de outros matemáticos, Euclides estudou mais aprofundadamente os conteúdos das

disciplinas criando uma das maiores obras-primas da Matemática de todos os tempos

chamada de “Os Elementos”.

O texto de “Os Elementos” foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro

texto a falar sobre teoria dos números. “Os Elementos” de Euclides é um tratado matemático e

geométrico de 13 livros. Os treze livros englobam a geometria euclidiana e a versão grega

antiga da teoria dos números elementar. Foi também um dos livros mais influentes na

história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático.

E que método era esse? O método consistia em assumir um pequeno conjunto de axiomas, e

então provar várias outras proposições a partir dos mesmos.

O estudo de Euclides analisava as diferentes formas de objetos, e baseava-se em três conceitos

básicos: ponto, reta e plano. O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma

definição aceite de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um

ponto por uma letra maiúscula do alfabeto. Podemos definir uma reta como sendo um

número infinito de pontos em sequência. Não é difícil perceber que sobre um ponto passa um

número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta.

A Base Da Geometria Euclidiana: Os Axiomas e Postulados.

A geometria euclidiana tem sua base em axiomas e postulados.

Mas então o que podemos entender sobre axiomas e postulados? Bem, segundo o

matemático os axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências, enquanto

que os postulados eram verdades sobre um determinado tema. Estes surgem como

desenvolvimento dos axiomas e se provados verdadeiros, são considerados teorema.

Os Axiomas:

Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si.

Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais.

Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.

Axioma 4: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais.

Axioma 5: O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.

Os Postulados:

Postulado 1: Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une;

Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma

reta;

Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma

circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);

Postulado 5: Se duas linhas intersetam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos

internos num lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersetar

neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das

Paralelas).

Geometria Não Euclidiana:

A geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto da

geometria euclidiana.

Por volta de 1820 um grande matemático da época chamado Gauss começou a se interessar

pela existência de uma geometria que não fosse a de Euclides, pois essa geometria é aplicada

apenas em superfícies planas, e essa teoria não poderia ser aplicada a superfícies curvas. Por

exemplo, ‘a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º numa superfície plana, mas

não podemos afirmar isso se a superfície em que se encontra esse triângulo for curva.

A geometria euclidiana era uma verdade única e incontestável, mas Gauss sabia que essa ideia

era totalmente falsa, mas para não entrar em conflitos com filósofos e matemáticos da época,

ficou em silêncio.

É no axioma ou postulado 5 que surge a dúvida e nasce a geometria não ­euclidiana. Mesmo a

Euclides pareceu que aquele era um axioma de natureza diferente e mais complexo do que os

outros. Deste mode que tentou provar o maior número de teoremas sem recorrer àquele 5º

axioma.

O 5º axioma ficou conhecido como “Axioma das Paralelas” porque se prova que é equivalente

ao seguinte: “Por um ponto exterior a uma reta passa sempre uma paralela à reta dada”.

Claro que o problema do infinito está aqui em evidência, como um simples modelo pode

demonstrar.

Contudo, a geometria não euclidiana não uma geometria exata, de modo que atualmente

ainda é estudada.

Rebeca Cardoso 11ºG